考研高数笔记
一、极限
1️⃣极限定义及基本性质
①定义
- 无穷小：当$x$趋于$x_0$时，存在一个很小的数，$f(x)$和$f(x_0)$之间的差比这个数还要小。（差是绝对值） $lim_{x\to{x_o}}f(x)=A<=>{\forall}ε>0,{\exist}ξ>0，0<|x-x_o|<ξ时,|f(x)-A|<ε$
- 无穷大：当$x$趋于无穷大等于A时，存在一个很小的数，$f(x)$和A之间的差比这个数还要小。（差是绝对值）
②极限存在判定
充要条件
- 函数左右极限存在且相等➡️左右开弓法求极限
必要条件
- $f(x)$在$x=x_o$去心领域内有定义
③极限三大性质
唯一性
局部保号性
🎩Z摘帽保号性（两个尖号）
如果$f(x)$在$x_0$的极限大于0，那么在其去心领域内也大于0。
如果$f(x)$在$x_0$的极限≥0，那么无法推出任何结论（因为函数在0左右都有值）。
🎩D戴帽保号性（结论加等号）
如果在$x_0$的去心领域内$f(x)>0$，且极限存在等于A，那么$A≥0$。
如果在$x_0$的去心领域内$f(x)≥0$，且极限存在等于A，那么$A≥0$。
局部有界性
④有界定理
- 初等函数在定义区间内均连续。
- 初等函数有界区间的求解方法：找无定义点和选项端点，求左右极限，找连续区间✅
闭区间连续函数
闭区间内连续➡️开区间连续➕左端点右连续➕右端点左连续
开区间连续函数
左连续➕右极限存在➡️有界、右连续➕左极限存在➡️有界
2️⃣无穷小量及无穷大量
①定义
- $0*有界=0$
- $无穷大*有界≠无穷大$（可能振荡）
②无穷小阶
-
高比低是0，低比高是无穷
-
和取低阶原则（若f(x)为m阶无穷小，g(x)为n阶无穷小，fg=m+n阶无穷小，f±g不为min(f,g)，也就是不满足和取低阶，因为两个同阶的可能碰撞出更大的火花，所以前提要不同阶）
-
乘法叠加原则
$o(x^2)o(x^3)=o(x^5)、o(x^2)x^2=o(x^4)、\frac{o(x^2)}{x}=o(x)、\frac{o(x^3)}{o(^x)}≠o(x^2)$【⚠️Attention！】
-
数乘无关
$k*o(x^2)=o(kx^2)=o(x^2)$
-
二者比阶：
| 二者之比 | 类型 |
|---|---|
| 1 | 等价无穷小 |
| A | 同阶非等价无穷小 |
| ∞ | 低阶 |
| 0 | 高阶 |
3️⃣泰勒公式
泰勒公式将函数变成多项式处理
①泰勒定理
麦克劳林公式
x0等于0的泰勒公式
- $f(x)-g(x)$：展开到相消不为0
- $\frac{f(x)}{g(x)}$：展开到同阶
4️⃣极限计算
①函数极限
先定形后定法，定法之前先四化
| 计算方法 | 条件 | 注意 |
|---|---|---|
| 洛必达法则 | $\frac{0}{0}或\frac{∞}{∞}$、分子分母极限存在、结果是A或∞ | 1、洛必达法则能否成立是由求导后的极限决定 2、洛必达法则不能前推后，如果后面震荡了就与前面的无关了 |
| 四则运算 | 极限存在 | 加减乘除都可拆，前提是存在，除的时候分母不为0 |
| 补项法 | 无 | 例如同时加减x凑常见等价无穷小 |
| 非零因子先算 | 遇到乘除法非零因子可以先计算出来 | 只有乘除，加减法不能用 |
| 拉格朗日中值定理 | 相同对应法则两函数做差 | 写“ξ介于两个之间” |
| 泰勒展开 | 无 | 展开到相消不为0或同阶项 |
| 等价无穷小 | 趋于0时可用 |
极限四则运算性质
| 第一项 | 运算符 | 第二项 | 结果 |
|---|---|---|---|
| 存在 | 加减 | 存在 | 存在 |
| 存在 | 加减 | 不存在 | 不存在 |
| 不存在 | 加减 | 不存在 | 未知 |
| 存在 | 乘 | 存在 | 存在 |
| 存在 | 乘 | 不存在 | 未知 |
| 不存在 | 乘 | 不存在 | 未知 |
重要极限
两个重要极限
0*∞重要极限
∞的0易错点
考法
左右开弓法求极限
| 极限形式 | 左极限 | 右极限 |
|---|---|---|
| $e^∞$ | $+∞$ | 0 |
| $arctan∞$ | π/2 | -π/2 |
| $x{\to}0$ | x | $ |
| 分段函数分段点处 | ||
| 取整函数$x{\to}a,[x]$ | ||
| $x{\to}0,1/x$ | +∞ | -∞ |
求极限中待定参数
定型后是未定式，那就按照未定式来处理。定型后不是未定式，不，它一定是未定式，因为结果是一个数字一定是未定式。
已知极限求另外一个极限
-
凑另一个极限
-
极限反解定理（万能）
$\lim_{x\to0}f\left(x\right)=a\Leftrightarrow f\left(x\right)=a+\alpha ，\alpha为高阶无穷小$
②数列极限
定义
数列极限只有一种趋向，那就是正无穷，在大于某个数后，所有的点都趋于A。
子数列
例如$[X_n]$的子数列$[X_{2n}]$、$[X_{3n}]$。
数列极限的性质
唯一性
保号性
有界性
数列极限计算
- 数列极限只有一种趋向——无穷大（不可换元）
- 数列极限不可以使用洛必达，需要先连续化处理——归结定理
- $lim_{n\to∞}\sqrt[n]{a}=1(a>0)$
- $lim_{n\to∞}\sqrt[n]{n}=1(a>0)$②
性质
计算
夹逼定理
- n项和问题：放缩分母使其可以相加
- 开n次方问题：都变成最大值，使用②式
单调有界必有极限
递推公式题型
-
证明有界性
小技巧、基本不等式（见附录）
-
证明单调性
- 求极限（可以先求极限进而确定有界性)
③变限函数求极限
使用洛必达法则，必要时调换积分次序。
5️⃣连续与间断
| 第一类间断点 | 第二类间断点 | ||
|---|---|---|---|
| 可去间断点 | 左右极限存在且相等但不等于函数值 | 无穷间断点 | 左极限或右极限为无穷（二者之一即可） |
| 跳跃间断点 | 左右极限存在且不相等但不等于函数值 | 震荡间断点 | 左极限或右极限不存在但不为无穷大 |
极限式函数
对谁求极限最后函数没有谁
- 求极限还原函数
- 再判断间断点类型
复合函数连续性
fx在u连续，g(fu)连续，复合函数一定连续
反函数的连续
-
单调性不发生改变
-
反函数的单调性与原函数相同
- 只有奇函数才有反函数
-
反函数与原函数关于y=x对称
- 反函数的定义域是原函数的值域
二、一元函数微分学
1️⃣导数
①导数定义
| 大白话 | 某一点的瞬时变化率 |
|---|---|
| 核心定义 |  |
| 增量定义 |  |
| 计算定义 |  |
| 推广定义 |   |
使用场景
- 分段函数在分段点处的导数
- 求一点处导数，但直接求导非常麻烦
- 欲求函数的导数，但未知函数的可导性
- 将极限与导数(极限)挂钩的问题
可导与连续的关系
谁可导谁连续，高阶连续可以推出低阶连续
tips：二阶可导是二阶导函数存在的意思，不是二阶导函数可导
②导数几何意义
某一点的切线斜率。
③原函数和导函数性质
| 原函数 | 函数 | 导函数 |
|---|---|---|
| 偶函数 | 奇函数 | 偶函数 |
| 只有一个奇函数（C=0） | 偶函数 | 奇函数 |
| 周期函数 | 周期函数 |
④切线方程与法线方程
| 坐标系 | 求解 |
|---|---|
| 直角坐标系 | 求出导数写方程 |
| 参数方程 | 求dy/dx，写方程 |
| 极坐标系 | 用参数方程把一个参数消除掉然后再用参数方程的方式进行求导 |
先求出导数在代入公式。
⑤两函数在一点相切
两个方程：函数值相等，导数相等。
2️⃣导数计算
①复合函数求导
链式法则
②一元隐函数求导
- 对数求导法
③参数方程求导
③极坐标系求导
用极坐标方程把其中一个参数替换掉，然后变成参数方程求导
④分段函数求导
⑤反函数求导
反函数关于y=x对称
⑥高阶导数
公式法
递归法
泰勒展开法
3️⃣微分
①微分定义
能不能以直代曲
②微分的计算
\[dy=f'(x)dx\]③微分几何意义
dy：切线曲线增量
Δy：函数曲线增量
4️⃣导数微分学应用
①单调性
误区：
- 一个点处的导函数正负无法决定单调性
- 函数在一点连续，无法退出函数在领域内也连续
- 函数在一点可导，无法退出函数在领域内也可导
| $f’(x)$ | 单调性 |
|---|---|
| $f(x)>0$ | 单调递增 |
| $f(x)<0$ | 单调递减 |
| $f(x)≥0$ | 单调不减 |
| $f(x)≤0$ | 单调不增 |
| $f(x)≥0$且有限个点使f(x)=0 | 单调递增 |
构造函数
②单调性（极值、最值）
找出所有的极值，计算出函数值，PK，不用判断是极小值还是极大值。
PS：连续函数唯一的极值点就是最值。
③零点
判断函数零点：看单调区间，和端点值
④凹凸性（拐点）
拐点是点，要写坐标。
- 割线>曲线是凹
- 切线<曲线是凹
- $f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$是凹 ⭐️
奇穿偶不穿
-
次方数大于1，一阶导等于0，平着画
⑥渐近线
直线加一个高阶无穷小就是有一条斜渐近线
垂直渐近线
水平渐近线
斜渐近线
⑦曲率
相切且k相等（跟曲率圆相等不一样，曲率圆相等的话二阶导数就是相等的），则函数值相等一阶导数相等，二阶导数绝对值相对
曲率圆方程
\[(x-a)^2+(y-b)^2=R^2\]
⑧奇偶性（补）
⑨周期性
⑩变化率
找闺蜜，dy/dx=dy/dt*dt/dx
⑩参数不等式证明
- 转为函数不等式
- 分离参数，使用单调性
- 凹凸性
- 拉格朗日中值定理
- 泰勒公式
- 积分不等式
不定积分
不定积分存在性
分段函数积分
分段点外直接积分
分段点上用连续（原函数可导，原函数一定连续）
隐函数不定积分
另x=ty，代入进行求解
有理分式
真分式
-
分子凑分母的导数
-
因式分解
假分式
眼瞅分母写分子，将其变成真分式，然后再使用真分式的求解方法。
无理根式
根号换元
直接令t等于一坨，反解出x，dx计算出来丢前面。
三角换元
- $1+tanx=secx^2$
- $sinx+cosx=1$
三角函数
见到双眼要发光系列✨
\[1{\pm}sinx=(sin\frac{x}{2}{\pm}cos\frac{x}{2})^2\] \[1+cosx=2cos^2\frac{x}{2}\] \[1-cosx=2sin^2\frac{x}{2}\]万能公式
\[\frac{A}{Bsinx+Ccosx+D}\]分析：分子为常数，分母为
sinx和cosx的倍数组合，将$tan\frac{x}{2}$设为t后，x就等于$2arctant$，因此dx就等于$\frac{2}{1+t^2}dt$，将其放到d前面后分母上正好可以化简抵消。
M分母+N分母导数
\[\frac{Asinx+Bcosx}{Csinx+Dcosx}\]分析：分子分母为sinx和cosx的倍数组合，可以将其整理成$\frac{M(Asinx+Bcosx)+N(Asinx+Bcosx)^{‘}}{Asinx+Bcosx}$，前半部分化简为一个常数，后半部分进行凑微分。 写出方程，对于sinx和cosx的系数列出两个=方程，解出M和N。
积化和差
\[sin(Ax)sin(Bx)\] \[cos(Ax)cos(Bx)\] \[sin(Ax)cos(Bx)\]使用积化和差公式整理后很好积分。
技巧性
定积分
定积分性质
定积分几何意义
圆面积
偏心圆
椭圆
定积分存在定理
充分条件
-
f(x)在[a,b]连续
-
f(x)在[a,b]有界，且有有限个第一类间断点
必要条件
- f(x)在[a,b]有界
定积分的计算
直接计算
凑微分
分部积分
第二类换元法
技巧计算
对称区间
几何意义
周期性
区间再现公式
f(sinx)关于二分之派对称
点火公式一家人
重要结论
根据区间再现公式推出的重要结论：
题型
对称区间定积分
- 奇偶性
- 公式
- 一半区间打开，一半进行负代换
定积分的应用
几何应用
平面面积
直角坐标
\[S=\int_a^{b}f(x)dx\]
或者 \(S=\int_a^{b}f(y)dy\)
高减低，右减左，确保面积为正。
极坐标系
\[S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)d\theta\]\[S=\frac{1}{2}LR=\frac{1}{2}{\theta}R^2，其中弧长L={\theta}R\]补充：扇形面积公式
补充：重要的极坐标曲线（见附录1）
参数方程
\[S=\int_{a}^{b}y_(t)x^{'}_{(t)}dt\]
旋转体体积
古尔今定理
直角坐标
- 绕x轴
- 绕y轴
极坐标系
使用极坐标方程将直角坐标系下的公式中x、y、dx代换掉。
参数方程
使用参数方程将直角坐标系下的公式中x、y、dx代换掉。
弧长L
积分限从小写到大（牵扯到弧微分一律从小写到大）
易得： \(ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}\)
直角坐标
\[L=\int_a^b\sqrt{1+(y^{'}_{x})^2}dx\]参数方程
\[L=\int_\alpha^\beta\sqrt{(x^{'}_t)^2+(y^{'}_t)^2}dt\]极坐标
\[L=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2+(r^{'}_\theta)^2}d\theta\]旋转侧表面积
积分限从小写到大（牵扯到弧微分一律从小写到大）
直角坐标
\[S=\int_a^{b}2\pi{y}\sqrt{1+(y^{'}_{x})^2}dx=>其中a≤x≤b\]公式中的y是高，要确保是正的
参数方程
\[S=\int_\alpha^{\beta}2\pi{y_{t}}\sqrt{(x^{'}_t)^2+(y^{'}_t)^2}dt=>其中\alpha≤x≤\beta\]极坐标
\[S=\int_\alpha^{\beta}2{\pi}r*sin(\theta)\sqrt{r^2+(r^{'}_\theta)^2}d\theta=>其中\alpha≤x≤\beta\]物理应用
变力做工问题
使用微元法。
力的问题
变限函数
变限函数存在性
变现函数存在性跟着定积分存在定理一样。
变限函数奇偶性
| 变限积分$\int_x^of(t)dt$ | 函数 |
|---|---|
| 偶函数 | 奇函数 |
| 奇函数 | 偶函数 |
| 如果一个周期内的积分为0，那么是周期函数 | 周期函数 |
变限函数求导（标准型）
\[\Phi'(x)=\frac{d}{dx}\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=f[\varphi(x)]\varphi'(x)-f[\phi(x)]\phi'(x)\]使用条件：被积分函数连续
上限移进去上限求导减下限移进去下限求导
证明：
变限函数求导（非标准型）
看被积分函数中有没有自变量
- 将自变量踢出去，用乘法求导法则求导
- 换元
牛逼爸
变限函数性质
反常积分
反常积分判断
-
积分区间无穷
-
存在瑕点
- 找无定义点
- 判断无定义点是否为无穷间断点
反常积分计算
一个发散就发散。
四则运算
都存在才能拆
如果不能拆，就整体求原函数再求极限。
重要反常积分
1️⃣区间大的影响，大的喜欢大的，大于1就收敛。
2️⃣区间小的影响，小的喜欢小的，小于1就收敛。
3️⃣等于1永远收敛。
反常积分奇偶性
比较审敛法
常微分方程
一阶
可分离变量
y的导数可以写成f(x)和g(y)组合的形式。
解法： \(\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx\)
\[=>\int\frac{1}{g(y)}dy=\int{f(x)}dx\]注意事项
- 通解≠全部的解，除数为0的时候不用管
- 整理的时候出现ln常数加lnc
- 出现ln积分绝对值要加
- 边界条件带入得到这个情况下的特解
一阶齐次
通解结构
\[y=C*齐次解\]
一阶非齐次
高阶
二阶可降阶
二阶齐次线性
形式
通解结构
二阶非齐次线性
形式
通解结构
二阶常系数齐次
考研只考察这种类型的求解
线性微分方程的反问题
要想求方程必先知通解 要求非齐次必先求齐次
反求特征值
三种形式判断出类型。
二阶常系数非齐次
线性微分方程的叠加定理
三阶常系数齐次线性方程
中值定理
1️⃣有界定理
2️⃣最值定理
3️⃣介值定理
结论下的一定是闭区间！！！
4️⃣零点定理
5️⃣积分中值定理
证明：最值定理=>比较定理=>介值定理
积分平均数
6️⃣费马定理
取极值且可导即导数为0
7️⃣罗尔定理
使用场景：证明一个中值点，一个等式等于0
8️⃣拉格朗日中值定理
9️⃣柯西中值定理
🔟泰勒定理
求某一点的n阶导数值
| 定理 | 皮亚诺余项 | 拉格朗日余项 |
|---|---|---|
| 条件 | 在某一点处n阶可导 | 在点领域成立 |
| 结论 | 在区间内n+1阶可导 | 在区间内成立 |
多元函数微分学
1️⃣基本概念
多元函数的因、中间、自变量
①二元函数几何意义
二元函数就是三维空间下的一个曲面。
②二元函数极限
二重极限有无数条取向。
当确定某一条趋向后，二重极限将变成一个一重极限。
二重极限没有阶的概念。
二重极限不存在
-
找一条趋向下极限不存在
-
找两条趋向下极限不相等
例如：$y=x,y=x^2,y=x^k,y=kx,x=y^2…$
二重极限存在
- 定型
- 等价无穷小
- 整体代换变一重极限
- 夹逼定理
- 0*有界=0
③连续的判定✅
任何趋向下极限都等于函数值才连续。
④可导的判定✅
⑤可微的判定✅
2️⃣偏导数定义及计算
①定义
可导与连续之间无任何关系，可导推不了连续，不连续也不一定就不可导！
②几何意义
④计算
对某一个自变量求偏导，因为其余自变量看为常数，可以先代值再计算。例如：$\frac{{\partial}z}{{\partial}x}$ 和 $\frac{{\partial}z}{{\partial}y}$ 可以先代入 $y$ 和 $x$ ，$\frac{{\partial}^2z}{{\partial}x^2}$ 和 $\frac{{\partial}^2z}{{\partial}y^2}$ 可以先代入 $y$ 和 $x$ ，而 $\frac{{\partial}^2z}{{\partial}x{\partial}y}$ 和 $\frac{{\partial}^2z}{{\partial}y{\partial}x}$ 都不可以先代入，因为代入的话后面进行求导的话就变成常数了，但第二次对 $x$ 或 $y$ 求偏导的时候 $y$ 或 $x$ 就可以带进去了。
多元函数的高阶偏导数
多元复合函数偏导数
先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导，有多少个中间变量就有几个部分。
单中间变量（复合函数）
直接依次求导，不可能出现角标。
多中间变量
套娃的题不缩写
代换变量问题
3️⃣全微分
可微、可导、连续♻️
4️⃣二元隐函数
①求导
两边同时求导
方程两边同时对 $x$ 或 $y$ 求偏导，注意 $z$ 中有 $x$ 和 $y$
公式法
②隐函数存在定理
5️⃣二元函数极值
①定义
领域内都大于或小于该点的值。
②可疑点
- 驻点
- 不可导点（两个偏导一个不存在就是不存在）
③求解
无条件极值
单条件极值
双条件极值
二元函数闭区域最值
边界上回到单条件极值求解。
二重积分
1️⃣几何意义
2️⃣计算方法
①直接法
直角坐标系化二次积分
取点、划线、投影、积分
极坐标系化二次积分
该用极坐标的时候一定要用，否则不是麻不麻烦的事情，有可能真的解不出来！！！
②技巧法
区域对称性（X、Y）
关于$x$对称的话把$x$看成常数后后看$y$的函数，偶倍奇零。
轮换对称线
积分区域关于 $y=x$ 对称，那么被积函数的 $x$ 和 $y$ 互换后值不变。
调换积分次序
dx中下限和上限对应左右，dy中下限和上限对应下和上。
③雅可比换元法
④古尔金定理
行列式
1️⃣基本概念
①定义
- 行列式是来自不同行不同列元素乘积的代数和。
- 行列式本质上是一个数。
- 行列式是一个运算法则。
- 行列式是一个双竖线里面加了一个方针，行数=列数。
②行列式计算
二阶和三阶适用。
③n阶行列式
④特殊的行列式
主对角线形
副对角线形
2️⃣行列式的性质
-
行列式与它的转置行列式的值相等。
-
互换行列式的两行（列），行列式变号。
-
若行列式某行（列）有公因子k，则可把公因子k提到行列式外面。
-
若行列式有两行（列）完全相同或成比例，则此行列式等于零。
-
行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
-
若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。
3️⃣余子式
行列式展开定理
行列式等于它的任一行（列）的各元素（系数）与其对应的代数余子式乘积之和。
行列式线性和
推论：某一行的元素乘另外一行对应的代数余子式和为零。
4️⃣特殊的行列式
范德蒙行列式
abcd从0次方到n-1次方（一定有一排1）等于后面依次减前面
行（列）和相等形
提出来化对角
爪形行列式
干掉一排爪子
点斜行列式
按第一列展开
三线行列式⭐️
线性递推式的求解
二阶线性地推式
数学归纳法
第一类数学归纳法
第二类数学归纳法
求特征值
对应消零成比例，行一下列一下
矩阵
1️⃣基本运算
- 矩阵乘法没有交换律：$AB≠BA$
-
矩阵乘法没有零因子律：$AB=0\not\rightarrow{A=0 B=0}$，只能推出$ A =0或者 B =0$ - 矩阵乘法没有消去律：$AB=AC\&\&A\neq0\not\implies{B=C}$
2️⃣转置矩阵
性质
- $(A^T)^T=A$
- $(kA)^{\mathrm{T}}=kA^{\mathrm{T}}$
- $(AB)^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$
- $(A+B)^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}} $
对称矩阵
两矩阵可交换
方阵的行列式
-
$ A^{T} = A $ -
$ kA =k^{n} A $ -
$ A\pm B \neq A \pm B $ -
$ AB = A \cdot B $ -
$ A^* = A ^{n-1}$ -
$ A^n = A ^n$ - $A^k*A^l=A^{k+l}$
- $(A^k)^l=A^{kl}$
-
$(A^*)^{-1}=\frac{A}{ A }$
3️⃣伴随矩阵（方阵）
\[A*A^*=A^**A=|A|E\]万能公式
- 各个元素代数余子式最后要转置。
- 代数余子式要带正负号。
- 二阶伴随：主对调，副换号。
4️⃣逆矩阵（方阵）
矩阵可逆的充要条件
逆矩阵的求解
抽象型
- 定义法
数值型
- 公式法
- 初等变换法
- 分块法
逆矩阵的性质
5️⃣分块矩阵
拉普拉斯行列式
注意两边都是零。
7️⃣初等矩阵
【左行右列】初等矩阵与初等变换之间的关系：
左行：左乘初等矩阵，相当于让该矩阵进行一次相应的行变换 右列：右乘初等矩阵，相当于让该矩阵进行一次相应的列变换
行就近列就远。
6️⃣矩阵等价
6️⃣矩阵的秩
两行消不掉
求矩阵的秩
- 利用矩阵秩的定义
- 利用初等变换化行阶梯矩阵求秩（行、列）
- 利用行列式（方阵）
分类讨论的情况
所见之处都要分类讨论。
常用公式
对于mxn的矩阵，有：
伴随矩阵A*的秩
分块矩阵的秩
矩阵等价
向量与方程组
线性相关
等价说法
局部与整体的关系
判断线性相关性
定势思维：
定义法
向量组的秩
判断行列向量组相关性
核心思想是秩和个数相比，行秩和列秩都相等
极大无关组
向量的秩
向量组的秩=列向量的秩=行向量的秩
齐次线性方程组
通解形式
基础解系
最多有s个线性无关的解。
判定条件：
- 个数s等于n-r
- 线性无关
- 是方程组的解
非齐次线性方程组
表达形式
解的判定
基础解系
最多有s+1个线性无关的解。
为什么要化行阶梯矩阵： 把主元化成自由之后，系数矩阵是EF，要让AN=0，所以N就是-F/E，此时-F就是特解，加个常数表示所有特解就是通解
克拉姆法则
系数矩阵必须是方阵，要求行列式不为零=>方程有唯一解。
在使用克拉姆法则判断解的情况时候，如果行列式为零，可能是无解也可能是无穷解，需要检验*
线性表示
矩阵方程
表达形式
解的判定
线性表示
向量组等价
定义
【注1】一个向量组与其极大无关组是等价的
【注2】向量组等价无须要求向量组内向量个数相同
判定
特征值
1️⃣特征值与特征向量
①定义
②求解特征值和特征向量
数值型矩阵
求解特征值
【特殊矩阵】主对角线型矩阵的上三角、下三角、对角阵的特征值均为对角线上元素
求解特征向量
抽象型矩阵
求解特征值
NB表二
已知A的特征向量求伴随的特征向量的小技巧：
③特征值的性质
- 行列式的值为特征值的乘积
- 矩阵的迹为特征值的加和
④特征向量的性质
- 不相同特征值对应的特征向量线性无关
- 相同特征值对应的特征向量可能线性相关，也可能线性无关
- k重特征值最多对应k个线性无关的特征向量，最少对应1个线性无关的特征向量（例如三重根的解空间可以是线可以是面可以是体）
- 若$\alpha$是矩阵A的特征向量，则$k\alpha$也是矩阵A的特征向量
2️⃣矩阵相似
①相似定义
注意：初等行列变换后矩阵不再相似
②相似性质
定势思维
零矩阵的特征值都是0，设A的特征值λ=0
③相似对角化定义
就是一种特殊的相似情况
④相似对角化性质
当矩阵可以相似对角化时，矩阵的非零特征值的个数等于矩阵的秩。
⑤相似对角化应用
求A的时候：
【1】方法一的缺点是需要求逆矩阵
【2】正交化（反求A的时候逆就是转置）单位化（求n次幂只有单位化后才可以消掉）
求A的n次幂的时候：
对角阵n次方后就是一个数，然后$P或Q$和$P^{-1}或Q^{-1}$可以消掉，两者无差别
⑥相似对角化变换
变换特征向量
变换特征值
⑦相似对角化的判定
必要条件
- R重根是否有R个线性无关的特征向量
- A有n个线性无关的特征向量
- 对每个i重特征值λ，r(λE-A)=n-i（和上面条件一个意思，适用于选择题）
充分条件
- A具有n个不同的特征值
- A为实对称矩阵
向量基础知识（补）
正交矩阵
正交矩阵定义
对于n所方阵而言，若$AA^T=E$，则A为正交矩阵。
正交矩阵性质
-
$A^{-1}=A^{T}$
-
$AA^{-1}=A^{-1}A=E$
-
$AA^{T}=A^{T}A=E$
-
矩阵的每一个列向量均为单位向量
-
矩阵的列向量间是正交的
另一种表达法：
3️⃣实对称矩阵相似对角化
①实对称矩阵
$λE-\alpha{\alpha}^T$是对称矩阵
实对称矩阵性质
-
实对称矩阵一定存在正交矩阵使得该矩阵相似对角化
-
实对称矩阵的r重特征值一定具有r个线性无关的特征向量（由上面一条可以推出）
-
实对称矩阵的特征值均为实数
-
实对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的（对于一般的矩阵是线性无关的）
题型
【题型】求一个正交矩阵，使实对称矩阵相似对角化
【解法】求出特征值和特征向量=>正交化=>单位化
正交化可在解特征向量时解出正交解：
②秩为1的矩阵
转置在前是数，转置在后是矩阵。矩阵的迹是数，也就是内积，而且秩为1
特征值
充要条件
对角化判定
二次型
1️⃣二次型及其对应矩阵
二次型的对应矩阵对应二次函数的系数，必须对半分，所以必须为实对称矩阵，因此矩阵和二次型一一对应。
| 函数 | 对应矩阵 | |
|---|---|---|
| 一般形 | 平方项➕交叉项 | 实对称矩阵 |
| 标准型 | 平方项 | 对角矩阵 |
| 规范型 | 平方项 | 对角矩阵的系数为1、-1、0 |
2️⃣矩阵合同
题目中出现合同，该矩阵一定是实对称矩阵。
①定义和性质
- 二次型经过可逆线性变换，前后矩阵是合同关系
- 二次型经过可逆线性变换，标准型不唯一（而且可以互相转换）
- 二次型经过可逆线性变换，正负惯性指数始终不变（合同签的就是这个）
②二次型化标准形
法1：正交变换法
二次型经过可逆线性变换，变成新的二次型，两二次型对应矩阵是合同关系
法2：配方法
配方法务必要保证线性变换是可逆的，只有是可逆的时候，二次型前后对应的矩阵才是合同的。
先凑$x_1$把$x_2$$x_3$当常数，再凑$x_2$把$x_3$当常数，最后凑$x_3$，凑的时候以杂交项凑，因为最后会剩平方项
如果没有平方项，固定设👇下面 的等式创造平方项
③惯性定理
求二次型的正负惯性指数
- 正交变换后看特征值
- 配方法后看系数
如何求二次型的规范型
- 求出标准型
- 将标准型的系数放到平方里面再进行换元
③正定二次型
正定二次型的定义
对于${\forall}A≠0$，有$f=x^TAx>0$。
正定二次型的判定
正定矩阵一定是对称阵——要想检验为正定矩阵，必须先检验为对称矩阵
充要条件
- ${\forall}A≠0$，$f=x^TAx>0$
- $λ_i>
- $p=n,q=0$
- 存在可逆矩阵P，$P^TAP=E$（正交变换后是单位阵，与单位阵合同）
- 存在可逆矩阵D，$A=D^TD$（上一章反求A的思路）
- A的所有顺序逐子式大于0。
附录1【函数图像专题】
函数图像变化规则
左加右减，下加上减。往往的左加右减，上加下减是因为那是对于一次函数$y=ax+b$，把b移到跟y一边就是$y-b=ax$，所有是下加上减。
作图规则
求导看单调性
常见图像
附录2【常见函数导数积分表】
附录3【常考不等式】
附录4【等价无穷小】
以下公式可以整体代还，包括次幂
| $x$ | $x^2$ | $x^3$ |
|---|---|---|
| $sinx{\sim}x$ | $1-cosx{\sim}{\frac{1}{2}}x^2$ | |
| $arcsinx{\sim}x$ | ||
| $tanx{\sim}x$ | ||
| $arctanx{\sim}x$ | ||
| $ln(1+x){\sim}x$ | ||
| $e^x-1{\sim}x$ | ||
| $(1+x)^a{\sim}ax$ | ||
| $a^x-1{\sim}xlna$ | ||
| $e^{xlna}-1{\sim}xlna$ | ||
- $x\to🐶时，如果lim_{x\to🐶}u(x)v(x)=0，且u(x)≠0，v(x)≠0,则[1+u(x)]^{v(x)}-1{\sim}u(x)v(x)$ 先是用了ln里面趋于1，所以要u(x)趋于0，再是用的e的x次方，所以要u(x)*v(x)趋于0。
- $\text{当}f(x)\to1\text{时,}\ln f(x){\sim}f(x)-1$（ln里面趋于1，立即等价于x-1）
- $当x\to0时,\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})\sim{x}$（反双曲正弦，奇函数，求导等于根号里面分之一）
- $\text{当}f\left(x\right)\to1\text{时,}f^{\alpha}\left(x\right)-1{\sim}\alpha\left[f\left(x\right)-1\right]$
- $1-\sqrt[n]{\cos x}\sim\frac{1}{n}*\frac{1}{2}x^2$⬆️上一个的推论⬆️
- $lim_{n{\to}∞}\sqrt[n]{a}=1(a>0)$
- $lim_{n\to∞}\sqrt{a}=1(a>0)$（数列）
- $lim_{n\to∞}\sqrt{n}=1(a>0)$（数列）
附录5【泰勒公式】
附录6【见到两眼要放光系列】
- $cos2x-1=-2sin^2x$
附录7【高阶导数公式】